Родился в творческой семье. Мать Алексея Рыбникова была художником-дизайнером, отец — скрипачом, работавшим в оркестре Александра Цфасмана. Рыбников начал пробовать себя в качестве композитора уже в детстве: в 8 лет написал несколько фортепьянных пьес, в 11 — балет «Кот в сапогах». С 1956 по 1962 год Алексей учился в Центральной музыкальной школе для одаренных детей при Московской консерватории. В 1962 году поступил в Московскую консерваторию имени П. И. Чайковского по классу композиции А. И. Хачатуряна, которую окончил с отличием в 1967 году, а в 1969 году окончил аспирантуру по классу этого же музыканта. С 1969 по 1975 год Алексей Рыбников преподавал в Московской консерватории на кафедре композиции. Алексей Рыбников — автор музыки к многочисленным кинофильмам, музыкальным спектаклям. Среди них наиболее известны рок-опера «Звезда и смерть Хоакина Мурьеты» и «Юнона» и «Авось» (по поэме А. Вознесенского) в Московском театре имени Ленинского комсомола. В 1979 году Алексей Рыбников был признан Всесоюзным хит-парадом самым популярным композитором года и награждён премией за лучшую музыку к кинофильму на Московском международном кинофестивале. В 1989 году общий тираж проданных дисков с музыкой А. Рыбникова превысил 10 миллионов экземпляров. В 1988 году Алексей Рыбников основал Производственно-творческое объединение «Современная опера» при Союзе композиторов СССР. В 1992 году здесь была представлена публике музыкальная мистерия А. Рыбникова «Литургия оглашенных». В конце 1994 — начале 1995 года с большим успехом прошли гастроли театра «Современная опера» в США. Вице-президент «Юниверсал Пикчерз» Н. Райс высоко оценил «Литургию оглашенных», заметив, что «эта блестящая музыкальная драма — без сомнения, художественное достижение высочайшего уровня, уникальное в своем мастерском соединении музыки, либретто и театральных эффектов». В 1999 году Постановлением Правительства Москвы при Комитете по культуре Москвы был создан Театр Алексея Рыбникова. В 2000 году в Государственном Доме радиовещания и звукозаписи состоялся премьерный показ сцен из новой музыкальной драмы А. Рыбникова «Маэстро Массимо» («Оперный дом»). С 26 июля 2010 года — член Патриаршего совета по культуре (Русская православная церковь)[3]. В 2011 году композитор написал современную оперу на основе романа Льва Толстого «Война и мир»[4]. Живёт и работает в Москве. Супруга — Татьяна, окончила МГУ имени М. В. Ломоносова. Дочь — Анна, кинорежиссёр. Сын — Дмитрий, композитор, музыкант.